 | | LA ARMONIZACIÓN DE
LAS ESCUELAS DE LA
MATEMÁTICA |
“Por medio de la lógica demostramos, pero con la intuición inventamos” (Henry Poincaré)
“Hilbert estaba equivocado y Poincaré tenía razón: la intuición no se puede eliminar de las matemáticas” (Gregory Chaitin)
“La intuición, y no la razón, atesora la clave de las verdades fundamentales” (Buda)
Las escuelas de pensamiento de fundamentación de la matemática tiene una rica y larga historia, que se remonta a los antiguos griegos y que interesó a figuras de gran relieve como Descartes, Cauchy, Weierstrass, Dedekind, Peano, Frege, Russell, Cantor, Hilbert, Poincaré, Brouwer, Weyl, Skolem, Tarski, Heyting, Gödel, Von Neumann, etc.
Estos matemáticos de primera línea tuvieron confrontaciones de tipo metamatemático. Por ejemplo, Brouwer (cabeza visible de la escuela intuicionista) polemizó incansablemente con Hilbert (el principal impulsor de la escuela formalista). Poincaré (defensor del intuicionismo) criticó con dureza a Russell (defensor del logicismo).
Las escuelas más importantes históricamente han sido tres: la axiomática (o formalista), la logicista y la intuicionista. No obstante, existen corrientes dentro de estas escuelas, e incluso hay autores que adoptaron posiciones intermedias.
La Escuela Formalista
Sistemas axiomáticos formales
La escuela formalista se basa en que propugna la utilización de sistemas axiomáticos formales en los dominios. Un sistema axiomático es un sistema que pretende demostrar todas las verdades de un cierto dominio mediante un conjunto de proposiciones iniciales llamadas “axiomas” y unas reglas lógicas de inferencia. Cuando los axiomas y las reglas se representan explícitamente mediante un lenguaje formal, entonces al sistema axiomático se le califica de “sistema axiomático formal”.
La palabra “axioma” deriva de griego "axiôma” (lo que parece justo), que se deriva del verbo “axióô” (yo estimo justo), que a su vez se deriva de “áxios” (digno). En latín, significa “un comienzo”.
En un sistema axiomático formal se distinguen dos niveles:
- A nivel sintáctico, un sistema axiomático formal se compone de:
- Un alfabeto o conjunto de símbolos válidos.
- Las reglas de formación de fórmulas a partir de los símbolos del alfabeto.
- Los axiomas, que son las fórmulas iniciales.
- Las reglas de transformación o de inferencia, que permiten derivar teoremas a partir de los axiomas u otros teoremas.
Los axiomas y los teoremas pertenecen al lenguaje del sistema axiomático formal. Las reglas de formación de fórmulas y las reglas de inferencia pertenecen al metalenguaje.
- A nivel semántico, pueden definirse opcionalmente una serie de conceptos previos, específicos del dominio. Se les denomina “nociones primeras” o “conceptos primitivos” o “conceptos primarios”. Los axiomas serían relaciones establecidas a priori entre los conceptos primarios. Si no se definen estos conceptos previos, se supone que son los propios axiomas los que definen los conceptos del dominio. Por encima de las nociones primeras podrían estar las “nociones comunes” (como en la axiomática de Euclides), que serían conceptos compartidos por todos los dominios.
Características de un sistema axiomático formal
En un sistema axiomático formal se plantean tres cuestiones clave:
- La consistencia, es decir, que no se puedan deducir pares de teoremas contradictorios. es decir, que no sea posible deducir una cosa y la contraria.
- La completud, que hace referencia a si son suficientes los axiomas y las reglas de inferencia para demostrar todas las verdades del dominio.
- La decidibilidad. Un sistema axiomático formal es decidible si existe un procedimiento general para determinar (en un número finito de pasos) si una fórmula es o no un teorema del sistema.
Modelos
Si no se considera la semántica de los axiomas iniciales ni los conceptos primarios, la aplicación de las reglas de inferencia en un sistema axiomático formal es un juego ciego de mera manipulación de símbolos. Es pura forma, sin semántica asociada. Un mismo sistema axiomático formal tiene la semántica abierta, es decir, puede tener diferentes interpretaciones; son los llamados “modelos”.
La analogía paradigmática de un sistema axiomático formal es el juego de ajedrez. Los axiomas corresponden a las posiciones iniciales de las piezas sobre el tablero (los peones, el rey, la reina, etc.). Las reglas de inferencia son las reglas de movimiento de las piezas (con o sin captura de piezas contrarias). Los teoremas son todas las posiciones posibles que pueden ocurrir en el juego.
El enfoque axiomático radical autoriza a jugar sin sentido. Se escribe cualquier conjunto de axiomas, se asegura que no son contradictorios y se procede a deducir teoremas mediante un mecanismo ciego de mera manipulación de símbolos.
La interpretación de un sistema axiomático consiste en asignar significados a las fórmulas, de tal manera que los axiomas se convierten en enunciados. Si un sistema axiomático admite al menos una interpretación, se dice que es “satisfacible”. Con la libertad de interpretación, el método axiomático se convierte en algo puramente abstracto.
Los modelos asociados a un sistema axiomático formal se clasifican por categorías, en donde cada categoría corresponde a modelos isomorfos entre sí:
- La categoría principal corresponde al modelo inicial propuesto (modelo estándar), con su semántica correspondiente.
- Las otras categorías corresponderían, en principio, a modelos no buscados ni pretendidos (modelos no estandar), con semánticas aternativas.
Skolem fue el primero en descubrir la existencia de modelos no estándar. Encontró que los axiomas que describen los números naturales pueden aplicarse a otros dominios en donde las entidades no eran de tipo numérico.
Un aspecto positivo de los modelos es que se revelan analogías formales entre dominios aparentemente independientes, por ejemplo, entre la teoría de la medida y el cálculo de probabilidades.
El programa de Hilbert
Hilbert −considerado el principal promotor del método axiomático− aspiraba a crear una teoría de la demostración (o teoría metamatemática) basada en un conjunto de axiomas universales y unas reglas de inferencia (también universales) que fundamentasen toda la matemática. Era el llamado “programa de Hilbert”. Lo expresaba en su artículo de 1925 “Über das Unendliche” (Sobre el Infinito).
La matemática se ha apoyado, desde Euclides (con sus famosos “Elementos” de geometría), en los sistemas axiomáticos. Hay sistemas axiomáticos formales en prácticamente todos los dominios: aritmética, geometría, teoría de conjuntos, etc. Pero no hay un sistema axiomático formal universal, es decir, un sistema a partir del cual derivar todas las verdades matemáticas. Este objetivo fue precisamente el programa de Hilbert.
El “golpe” de Gödel al formalismo de Hilbert
El formalismo radical, preconizado por Hilbert (y algunos de sus sucesores), abogaba por prescindir absolutamente de la semántica (la interpretación, el significado). Las fórmulas serían “formas”, pura sintaxis y la demostración de teoremas se reduciría a mero cálculo.
La irrupción del teorema de incompletud de Gödel en su artículo de 1931 (“Sobre sentencias formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines”) puso en cuestión los sistemas axiomáticos formales en general y el programa de Hilbert en particular, así como al programa de axiomatización lógica de la matemática impulsado por Russell y Whitehead en su “Principia Mathematica”. En esencia, este teorema afirma:
- Todo sistema axiomático formal, que incluya a la aritmética de los números naturales, es incompleto, es decir, que hay sentencias indecidibles en el sentido de que son “inalcanzables” mediante los axiomas y las reglas de inferencia, por lo que no se puede demostrar si son verdaderas o falsas. Por mucho que se amplíe el conjunto inicial de axiomas siempre habrán secuencias indecidibles.
- Un sistema axiomático formal no puede demostrar su propia consistencia.
El teorema de Gödel representó el fracaso del formalismo. Lo meramente formal no es suficiente. Se necesita la otra parte y la más importante: la semántica. Gödel demostró con su teorema que el objetivo de los formalistas radicales de crear un sistema axiomático consistente, completo y decidible para toda la matemática era imposible. Como consecuencia, la matemática entró en su gran crisis de fundamentos, pues hasta entonces se creía que la “verdad matemática” estaba asociada (o era equivalente) a su demostrabilidad. Pero Gödel demostró que en todo sistema axiomático formal puede haber verdades matemáticas indemostrables.
Si Hilbert hubiera tenido razón, la matemática sería un sistema cerrado a nuevas ideas, que bloquearía toda creatividad.
De todas maneras, a pesar del teorema de Gödel, la axiomática ha seguido desarrollándose, siendo hoy día la corriente mayoritaria en matemática, acumulándose teoremas a un ritmo cada vez mayor. Lo que se suele hacer es suponer la consistencia de los axiomas y confiar en la riqueza de los axiomas en su aplicación práctica en los dominios particulares.
Limitaciones y objeciones de la axiomática formal
Además de las limitaciones de la axiomática formal establecidas por el teorema de Gödel, se pueden hacer muchas más objeciones:
- No existen unas fronteras claramente definidas entre los conceptos primitivos y los axiomas de un dominio, lo que crea cierta confusión. Los axiomas corresponden normalmente a relaciones entre los conceptos primitivos o a definiciones de estos conceptos. De hecho, existe una controversia histórica sobre si los axiomas son (o incluyen) definiciones de conceptos primitivos:
- Poincaré pensaba que los axiomas son definiciones encubiertas.
- Hilbert pensaba que los axiomas engloban a las definiciones.
- Ernst Mach pensaba que los conceptos primitivos deben ser definidos por los axiomas.
- Aunque se recomienda que los axiomas sean independientes entre sí, a veces esto no es posible, por lo que es difícil asegurar la consistencia del sistema.
- Muchos axiomas son artificiales y poco intuitivos. El ejemplo más representativo es la axiomática ZF (Zermelo-Fraenkel) de la teoría de conjuntos, con axiomas un tanto crípticos introducidos para contemplar los conjuntos infinitos y para evitar paradojas.
- Los axiomas, en general, no son constructivos, sino que son meramente descriptivos, lo que dificulta la construcción de entidades matemáticas. En teoría, la única forma de construir entidades matemáticas es a través de los axiomas y las reglas de inferencia.
- Las reglas de inferencia están asociadas a cada sistema axiomático formal de un dominio particular, pudiendo ser diferentes en cada dominio. De hecho, no existe un acuerdo unánime sobre los métodos de deducción lógica admisibles. Pero las reglas de inferencia deberían ser universales, es decir, independientes del dominio.
- La utilización de axiomas en algunos dominios conduce a una complejidad innecesaria, frente a la simplicidad resultante cuando se utilizan conceptos intuitivos. Por ejemplo, en teoría de conjuntos la axiomática es muy compleja. Pero la noción de conjunto es una de las ideas más simples e intuitivas de la matemática, tan simple que incluso se enseña a los niños en la escuela. Además, las posible diversidad de formalismos de la teoría de conjuntos conduce a desvirtuar algo que es fundamentalmente simple.
- Aunque se han hecho esfuerzos para axiomatizar algunos dominios de la ciencia (la física especialmente), no se ha tenido mucho éxito. Esto se ha debido a:
- Su complejidad de utilización.
- La necesidad de una interpretación única (el mundo físico), frente a los posibles y diferentes modelos alternativos que ofrece cada sistema axiomático formal.
- Lo importante en física es la semántica de las leyes físicas. Su formalización necesita un lenguaje de base semántica, no un lenguaje puramente sintáctico.
- La utilización “forzada” de la axiomática en muchos dominios se la ha comparado con el “principio de incertidumbre” de Heisenberg. Así como existen límites en la experimentación en física cuántica derivados del observador y de sus instrumentos de medida, análogamente, existen límites en la formalización de un dominio derivadas del observador mental y su instrumento o herramienta, que es la axiomática.
- Los axiomas, en muchos casos, restringen o limitan las posibilidades expresivas y, por lo tanto, la creatividad.
- Cada sistema axiomático utiliza un lenguaje formal diferente. Lo deseable sería disponer de un lenguaje unificado que permitiese expresar la semántica de los diferentes dominios.
- La propia estructura (discreta) de las fórmulas de los axiomas supone una limitación. En efecto, según el teorema paradójico de Löwenheim-Skolem (1915), es posible asociar a todo sistema axiomático formal un modelo en el dominio de los números naturales. Pero hay sistemas matemáticos que son más complejos que el sistema de los números naturales y, por lo tanto, no pueden ser expresados mediante sistemas axiomáticos formales.
- La axiomática formal nunca puede capturar conceptos. El caso más paradigmático son los famosos 5 axiomas de Peano de la aritmética, establecidos por este autor en 1899:
- Cero es un número.
Cero no es el sucesor de ningún número.
- No hay dos números que tengan el mismo sucesor inmediato.
- Cualquier propiedad que pertenezca al cero, y también al sucesor inmediato de todo número que tenga esa propiedad, pertenece a todos los números (principio de inducción).
Pero el concepto de número no puede capturarse de forma axiomática, de forma superficial; es un arquetipo primario que pertenece al reino de lo profundo, y no puede formalizarse. Lo mismo le ocurre al resto de los arquetipos primarios.
La Escuela Logicista
La escuela logicista pretende edificar toda la matemática basándose exclusivamente en la lógica, por lo que la matemática sería una rama de la lógica:
- Todos los conceptos de todos los dominios de la matemática (aritmética, álgebra, análisis, etc.) pueden definirse en términos de unos pocos conceptos lógicos primitivos.
- Todos los teoremas de la matemática pueden deducirse de los conceptos lógicos primitivos por medio de reglas de deducción lógicas.
- La naturaleza de la verdad matemática no tiene referente empírico, sino que se trata exclusivamente de relaciones entre los conceptos lógicos.
Los hitos más importantes del logicismo, a nivel histórico, fueron los siguientes:
- Leibniz es considerado el inspirador del logicismo. Fue el primero que tuvo la idea de fundamentar la matemática en la lógica al proponer que todo razonamiento es solo cálculo lógico.
- Gottlob Frege fue el verdadero iniciador y desarrollador del enfoque lógico de la matemática, el programa logicista. Dicho programa había de realizarse en dos pasos: en el primero se definirían los conceptos matemáticos mediante unos conceptos lógicos primitivos; en el segundo se demostrarían los teoremas matemáticos usando exclusivamente la lógica.
Según Frege, la lógica es la esencia de la aritmética. La aritmética está basada en la lógica, pues solo depende de las leyes del pensamiento racional. La lógica es el estudio de la inferencia que preserva la verdad. Las leyes de la lógica gobiernan el pensamiento racional, independientemente del contenido lógico. Una verdad aritmética es una verdad lógica. Frege dedicó su vida a demostrar que los principios de la aritmética no son más que teoremas lógicos. Para ello desarrolló un lenguaje formal, junto con un sistema deductivo.
En 1879 publicó el resultado de sus investigaciones bajo el título de Begriffsschrift (Conceptografía o Ideografía) en donde aparece por primera vez una nueva lógica, la lógica de predicados cuantificacional, naciendo así la lógica moderna, la llamada “lógica matemática”. En esta obra, Frege axiomatizó y formalizó la lógica, es decir, consiguió formularla en un lenguaje puramente simbólico.
Para Frege, toda sentencia se puede descomponer o estructurar en forma de predicados. Y esta estructura es la que sirve para realizar las inferencias. Hay conceptos de primer orden, con predicados de primer orden, y conceptos de orden superior con predicados y cuantificadores de orden superior.
En 1884 publicó Grundlagen der Arithmetik (Fundamentos de la Aritmética), en donde presenta los principios fundamentales de la aritmética a partir de axiomas lógicos. Fue un anticipo de lo que habría de ser su obra fundamental: Grundgesetze der Arithmetik (Las Leyes Fundamentales de la Aritmética), cuyo primer volumen apareció en 1892. En esta obra axiomatizó la teoría de conjuntos de Cantor, definiendo el concepto de número mediante el concepto de conjunto. Los axiomas de la aritmética de Peano se convirtieron en teoremas.
En 1902, cuando Frege había terminado el segundo volumen de su obra “Las Leyes Fundamentales de la Aritmética”, con la que creía haber finalizado la fundamentación lógica de la aritmética, recibió una carta de Bertrand Russell en la que le comunicaba que había encontrado una paradoja en la teoría de conjuntos. A Frege solo le dio tiempo para insertar una nota al final de su libro.
La paradoja de Russell es la siguiente: “El conjunto de los conjuntos que no pertenecen a sí mismos, ¿se pertenece a sí mismo?”. La respuesta a esta cuestión es “sí” y “no” a la vez. Esta paradoja pone de manifiesto que no puede asumirse el principio de comprensión utilizado por Frege. Este principio afirma que toda propiedad implica o conduce a un conjunto de entes que tienen esa propiedad, lo que no es cierto en el caso de la paradoja de Russell.
- En 1903, Bertrand Rusell, heredero de las ideas de Frege, publica “Los Principios de la Matemática”, donde suscribe la idea de que la matemática es derivable exclusivamente a partir de la lógica.
- Entre 1910 y 1913 aparecen los tres volúmenes de Principia Mathematica (PM), escritos por Russell y Whitehead, en donde se exponía y detallaba este fundamento logicista de la matemática. Por ejemplo, los conjuntos (que denominaba “clases”) son conceptos lógicos. Estos autores intentaron demostrar que la matemática se puede desarrollar de manera lógico-formal, pero al mismo tiempo mostraron la gran envergadura de esta tarea. De todas maneras, la pureza lógica de los PM fue cuestionada desde el principio, al utilizarse principios demasiado complicados para evitar paradojas y antinomias (contradicciones).
- En 1921, Emil Post demostró que la axiomática de PM era consistente, completa y decidible.
La escuela logicista está estrechamente ligada con la formalista, pues los logicistas usan normalmente sistemas axiomáticos formales. Los logicistas-formalistas radicales pretendían despojar a las proposiciones lógicas de su semántica de tipo lógico y aplicar ciegamente las reglas de transformación para deducir teoremas. Dada la frontera difusa existente entre la matemática y la lógica, se considera que hoy día las diferencias entre el logicismo y el formalismo prácticamente se han desvanecido. La lógica, que nació como una rama de la filosofía, se convirtió en “lógica matemática” y ha sido gradualmente absorbida por la matemática. La lógica forma parte de la matemática, por lo que es imposible que una parte fundamente al todo.
La Escuela Intuicionista
A principios del siglo XX, Luitzen Brouwer fundó la corriente matemática del intuicionismo (o constructivismo), según los principios siguientes:
- Construcción mental.
La matemática es una creación de la mente humana que se realiza a partir de intuiciones sobre números, conjuntos, continuidad, espacio, etc. Los objetos propios de la matemática son construcciones de la mente. La única fuente de conocimiento matemático es la intuición.
La matemática es la actividad de efectuar construcciones mentales. Toda la matemática es una estructura mental interior. Los números naturales son el paradigma de la construcción mental. Aunque la matemática reside en la mente, la matemática es independiente de la psicología.
La matemática no tiene carácter empírico, no se descubre en la naturaleza. No son objetos que procedan de la experiencia, como en el caso de las ciencias. La matemática no se descubre, se crea, se construye, se origina y se desarrolla en la mente humana. Esta construcción mental (interna) es independiente de la posible existencia de una realidad objetiva (externa).
Toda entidad matemática existe si es posible construirla de forma real y efectiva mediante métodos operativos de tipo intuitivo y en un número finito de pasos. No existen las entidades matemáticas que se basan en meras descripciones formales, pues no tienen existencia real. Las entidades infinitas (como el conjunto de los números naturales o los números reales o el propio infinito) tampoco existen, y no tienen sentido porque no pueden construirse.
La existencia de un objeto es equivalente a su posibilidad de construcción. Toda demostración debe ser una construcción. No es suficiente demostrar que una entidad matemática existe; hay que construirla. Existencia es construcción, no demostración de existencia. Decir que un objeto tiene ciertas propiedades es equivalente a decir que se puede construir un objeto con esas propiedades.
- Intuición primordial.
La intuición primordial (ur-intuition) es el flujo del tiempo, la percepción del movimiento del tiempo. A partir de esta intuición primordial se obtiene toda la matemática, empezando por los números naturales. A partir del concepto intuitivo de 1 surge el 2. Esta dualidad engendra por iteración la multiplicidad. Esta construcción de un número natural tras otro se da precisamente porque poseemos una preconcepción del tiempo. Cuando decimos que el 2 va “después” del 1, el término “después” tiene una connotación temporal.
El tiempo es continuo. Percibimos el tiempo como cambio porque persiste en la memoria la situación anterior frente a la nueva. El cambio más básico es el que hace pasar de una unidad a otra unidad diferente, es decir, percibimos la dualidad como otra unidad. La conciencia es el sustrato común a toda secuencia. El tiempo nos permite tomar conciencia de lo continuo y lo discreto. Es esta conciencia de la dualidad lo que da origen a la matemática, a la ciencia y al lenguaje.
Para Kant, espacio y tiempo son intuiciones puras a priori (formas primigenias del entendimiento). Brouwer rechaza la tesis kantiana sobre la intuición espacial, pero acepta la intuición temporal: el movimiento de la mente que hace pasar del 1 al 2 es lo que determina la matemática. Esta dualidad es vacía, sin contenido, pero es el sustrato o cualidad común de todas las dualidades. La aritmética es una ciencia cuyos fundamentos se hallan en la intuición pura y a priori del tiempo.
Brouwer pensaba que la geometría es reducible al álgebra (como demostró Descartes) y, por lo tanto, que la geometría está también fundamentada en la intuición del tiempo.
La matemática no tiene carácter empírico, a diferencia de las ciencias. “La matemática es una creación libre, independiente de la experiencia, que se desarrolla a partir de una única intuición primordial a priori” [Brouwer en su tesis doctoral de 1907].
- Números naturales.
El concepto fundamental, el más básico de la matemática, el más intuitivo, es el de los números naturales, que representa el mundo discreto y que no necesita de ninguna descripción pues tenemos una intuición directa de ellos. De los números naturales surgen todas las matemáticas. Pueden construirse números tan grandes como se quiera, pero no el conjunto de todos los números naturales, pues es infinito.
- Los números irracionales.
Los números irracionales no son objetos matemáticos porque no pueden construirse en un número finito de pasos. Lo irracional implica el infinito. Los números irracionales solo son describibles (no construibles) mediante una secuencia convergente de infinitos números racionales donde cada número se obtiene a partir del anterior mediante una ley, patrón o algoritmo.
- Principio del tercero excluido (PTE).
El razonamiento no debe basarse en el principio de que todo enunciado es verdadero (V) o falso (F), pues desde el punto de vista constructivo no es ni V ni F. En otras palabras, no es que no sepamos si es V o F, sino que no es ni V ni F. Se renuncia, pues, al principio de “tercero excluido” (tertium non datur). Y se rechaza, por lo tanto, también la demostración por reducción al absurdo y el principio de la doble negación.
El principio del tercero excluido tampoco es válido cuando hace referencia a conjuntos infinitos. No tiene sentido hablar de verdadero o falso de algo que no es construible.
- El infinito.
Las entidades infinitas (como el conjunto de los números naturales o los números reales) no existen porque están más allá de las posibilidades constructivas y de la capacidad de la mente humana.
El infinito absoluto o actual (el infinito entendido como una entidad) es un concepto que no tiene sentido porque no tiene fundamento constructivo. Solo se puede admitir el infinito potencial el único infinito admitido por Aristóteles, que consiste en la repetición de un mecanismo o patrón operativo de forma recursiva que permite pasar de un elemento al siguiente. El paradigma del infinito potencial son los números naturales. Por lo tanto, los números transfinitos de Cantor (que son infinitos actuales, reales y absolutos) no tienen sentido.
También se rechaza el axioma de elección de la teoría de conjuntos porque para conjuntos infinitos es inaceptable desde el punto de vista constructivo. Este axioma afirma: “ En una colección (finita o infinita) de conjuntos no vacíos y sin elementos comunes, existe un conjunto que contiene un elemento, y solo uno, de cada conjunto de la colección”.
- El continuo.
El continuo matemático es una pura abstracción que existe únicamente en la mente del hombre. El continuo es un concepto primitivo e intuitivo que surge directamente de la conciencia lineal del tiempo. El continuo no puede ser identificado como un conjunto de puntos. Lo discreto no puede reducirse a lo continuo ni lo continuo a lo discreto.
- La inducción.
La inducción matemática es un mecanismo o patrón razonador que conduce al descubrimiento de leyes generales a partir de un elemento base (o inicial) y una cláusula de recursión. En su forma más general (o completa) se considera un conjunto numerable de objetos. El elemento base es P(1) (el elemento 1 tiene la propiedad P). La cláusula recursiva es
(si todo elemento k tiene la propiedad P, también la tiene el elemento k+1).
Formalmente, la inducción completa se expresa asÍ:
(P(1) ∧ ∀k (P(k) → P(k+1)) → ∀n P(n)
Para Brouwer, la inducción completa es un acto de construcción matemática justificado simplemente por la intuición. La inducción matemática es una intuición fundamental, no un axioma formal. En su ensayo de 1912 “Intuición y Formalismo”, Brouwer predijo que todo intento de demostrar la consistencia de la inducción completa conduciría a un círculo vicioso.
- El lenguaje matemático.
No es necesario ningún lenguaje formal como elemento constitutivo del quehacer matemático. La verdad matemática se expresa mejor en el lenguaje ordinario. La matemática es independiente del lenguaje con el que se expresa. Las construcciones matemáticas no son expresiones del lenguaje natural ni del lenguaje formal, aunque pueden expresarse en ellos.
La matemática no es un lenguaje. La matemática es una estructura mental esencialmente no lingüística. El lenguaje solo cumple la función de describir la actividad matemática. Los objetos lingüísticos (como los axiomas) pueden servir para describir una construcción mental, pero no tienen existencia. El lenguaje es una herramienta de comunicación que es esencialmente imperfecta y que no permite expresar o transmitir los estados mentales subjetivos. Los lenguajes formales no son capaces de representar las construcciones mentales de la matemática. Las formulaciones matemáticas son meras estructuras lingüísticas si no están acompañadas por pensamientos constructivos genuinos. “El lenguaje formal acompaña a las matemáticas como el mapa del tiempo acompaña a los procesos atmosféricos” [Brower, 1975]. La matemática del lenguaje matemático es una matemática de segundo orden, una ciencia experimental.
- Lógica vs. Matemática.
La matemática es anterior a la lógica e independiente de ella. La lógica no es una fuente de conocimiento matemático. La lógica no es propiamente matemática sino una aplicación de la matemática. La lógica está subordinada a la matemática. La lógica clásica es una aplicación de la matemática elemental aplicada a conjuntos finitos.
Los principios lógicos son válidos solamente para el lenguaje de la matemática. La utilidad de la lógica se limita a la construcción del lenguaje matemático. La lógica es una ciencia cuyo objeto son los enunciados del lenguaje. Tampoco la causalidad, característica esencial de las ciencias, es propia de la matemática pura. En el lenguaje matemático encontramos relaciones causales, pero son producto de la experiencia.
Toda construcción lógica de las matemáticas conduce a una construcción lingüística, pero que no puede identificarse con la verdadera matemática. La lógica no basada en constructos no tiene sentido.
- Verdad y falsedad.
Se cuestiona abiertamente la demostración lógica pura como fundamento de la certeza de los resultados matemáticos. Las únicas demostraciones aceptables son las que permiten construir un objeto matemático con sus correspondientes propiedades. Así como en la escuela formalista verdad es sinónimo de demostración, en la escuela intuicionista verdad es sinónimo de construcción.
La verdad de una sentencia matemática es una construcción mental y, por lo tanto, es subjetiva. Un matemático puede asertar la verdad de una sentencia solo verificando la validez de su construcción por intuición. La formalización de la verdad carece de sentido.
- Paradojas y contradicción.
Las paradojas de la teoría de conjuntos surgen de la imposibilidad de construcción matemática. La contradicción lógica es un hecho lingüístico, mientras que la contradicción matemática es la imposibilidad de efectuar una construcción. La ventaja de los constructos es que nunca pueden dar lugar a contradicciones.
- Leyes mentales.
El objetivo último de la matemática el descubrir las leyes internas, las leyes de la mente, de la misma forma que la física tiene por objetivo descubrir las leyes externas del mundo material o de los sentidos.
- Intuicionismo vs. Finitismo.
El finitismo es una filosofía de la matemática que solo acepta la existencia de objetos matemáticos finitos. No acepta los conjuntos infinitos (como el conjunto de los números naturales), pero sí admite el razonamiento constructivo sobre conjuntos infinitamente numerables, siempre construyendo un elemento sobre el anterior.
El finitismo estricto rechaza la idea de infinito potencial: un objeto matemático no existe a menos que pueda ser construido en un número finito de pasos. En este sentido, Brouwer era finitista, pero no finitista estricto.
- Intuicionismo vs. Formalismo.
La matemática no es un conjunto de axiomas y teoremas sino una actividad mental, donde la intuición precede a lo formal. La matemática no es un saber formal, ni superficial ni axiomático ni analítico, sino intuitivo, profundo, sintético y a priori.
Brouwer fundó la filosofía matemática del intuicionismo como desafío al formalismo de Hilbert y sus seguidores. En el sistema axiomático de Hilbert, los axiomas no necesitan ser forzosamente “de sentido común”, a priori, innatos e intuitivos, sino que pueden ser abstractos y arbitrarios, siempre que no conduzcan a contradicción. Para Hilbert, la verdad matemática es la demostrabilidad respecto a un conjunto de axiomas y sus reglas de inferencia.
Para los formalistas, la matemática es la teoría de los lenguajes formales. Para los intuicionistas, la matemática es la teoría de las construcciones mentales. Brouwer nunca utilizó axiomas y trató de justificar todos los principios sobre fundamentos conceptuales. Tampoco intentó axiomatizar el razonamiento intuicionista.
Para Brouwer, la matemática se desarrolla a nivel interno, por lo que la formalización (externa) es inaceptable e innecesaria. Brouwer rechazó el formalismo per se, pero admitía su utilidad potencial en la formulación de principios lógicos generales que expresan construcciones intuitivamente correctas, como el modus ponens. Los sistemas formales se pueden legitimar por la matemática intuicionista, siempre que cada axioma y regla se justifique desde un punto de vista intuitivo.
- Intuicionismo vs. Logicismo.
La concepción de Brouwer de la lógica como aplicación matemática contradice la tesis del logicismo, según el cual la lógica es el fundamento de la matemática.
Poincaré, un convencido intuicionista, decía que los números naturales son autoevidentes. Se burlaba de la complicada formalización de la aritmética de Russell y Whitehead en su obra Principia Mathematica, un intento fallido de fundamentar la matemática sobre la lógica.
- Intuicionismo vs. Platonismo.
Según el platonismo, las entidades matemáticas residen en un reino superior de formas ideales. El intuicionismo considera los objetos matemáticos como construcciones mentales basadas en intuiciones y no como expresiones de ideas o formas trascendentes o superiores. En el platonismo, las entidades matemáticas son atemporales. En el intuicionismo las entidades matemáticas pueden cambiar con el tiempo.
En definitiva, el intuicionista cree que la matemática es una mezcla de mito y realidad, y que debe de desprenderse del mito. Históricamente, la crítica intuicionista de la matemática clásica contribuyó a clarificar temas importantes, como la necesidad de una separación clara entre matemática y metamatemática, así como la verdadera naturaleza del método axiomático.
Los hitos históricos del intuicionismo han sido los siguientes:
- Los pitagóricos se pueden considerar los primeros intuicionistas al fundamentar toda la realidad en los números naturales. Pero descubrieron solo una de las dimensiones de la realidad matemática: los números. Y también descubrieron, con horror, los números irracionales.
- Kronecker es considerado el precursor o pionero del intuicionismo cuando afirmó: “Dios creó los enteros, todo lo demás es obra del hombre”. Solo creía en la matemática constructiva y siempre a partir de los números naturales. Propuso desterrar los números irracionales de la matemática porque no pueden construirse.
- Poincaré defendió el intuicionismo, pues dio mucha importancia al papel de la intuición en matemática. También era un generalista (o más bien un universalista) que dominaba todos los campos matemáticos de su época. Según Poincaré, la lógica se reduce a tautologías, por lo que no puede fundamentar la matemática. La única fundamentación de la matemática reside en la intuición.
- La escuela intuicionista fue creada en 1907 por Brouwer como reacción o respuesta al formalismo radical, que pretendía eliminar el espíritu de la matemática y reducirla a mero cálculo ciego. En ese año presentó su tesis doctoral “Los Fundamentos de las Matemáticas” donde cuestionaba la ley del tercero excluido y la axiomática de Zermelo de la teoría de conjuntos. En 1917 presentó los fundamentos de una nueva teoría intuitiva de conjuntos.
- A partir del trabajo pionero de Brouwer se crearon varias escuelas de matemática constructiva, entre ellas: la escuela rusa de constructivismo, las matemáticas explícitas de Feferman, el análisis matemático de Bishop, la teoria de la demostración reductiva, etc.
- Como base formal para el proyecto intuicionista de Brouwer, Arend Heyting desarrolla la lógica intuicionista, o lógica constructivista, una lógica que pone énfasis en el razonamiento constructivo, en lugar de la verdad lógica tradicional.
- En 1918, Hermann Weyl se unió a la causa intuicionista al afirmar que el análisis matemático no tenía sentido, al basarse en el continuo. En su famoso trabajo Das Kontinuum (1918) criticaba la teoría axiomática de conjuntos, afirmando que era como “una casa construida sobre arena”. Weyl concebía el continuo como algo diferente a un mero conjunto de puntos, la misma idea que Brouwer.
MENTAL, la Armonización de las Escuelas Formalista e Intuicionista
La historia de la fundamentación de la matemática se reduce, en definitiva, al debate entre las escuelas formalista y la intuicionista, pues el logicismo no es más que un tipo de formalismo. Se trata en realidad de la historia del choque, confrontación o dialéctica de los dos modos de conciencia: el racional (asociado al hemisferio izquierdo del cerebro) y el intuitivo (asociado al hemisferio derecho):
- La escuela formalista es formal, racional, sintáctica, objetiva, superficial.
- La escuela intuicionista es el polo contrario: intuitiva, semántica, subjetiva, profunda.
Pero lo que necesitamos es armonizar ambos modos de conciencia. MENTAL armoniza las escuelas formalista e intuicionista de la matemática.
MENTAL, un lenguaje matemático formalista
MENTAL es un lenguaje matemático formalista. Se puede considerar un sistema axiomático formal universal, con un conjunto de conceptos previos o axiomas primarios (las primitivas semánticas universales que son los “axiomas semánticos”) como en la geometría de Euclides y un conjunto de axiomas secundarios que relacionan las primitivas entre sí con las cuales se pueden derivar teoremas.
Los axiomas secundarios son intermediarios entre los axiomas semánticos y los teoremas. Los axiomas (primarios y secundarios) y los teoremas son universales, no son específicos de ningún dominio particular.
Con MENTAL, no obstante, se pueden construir también sistemas axiomáticos formales específicos en dominios particulares. Pero este es uno de los múltiples paradigmas posibles que se pueden utilizar para formalizar un dominio. La formalización de un dominio específico consistiría en la creación de un modelo que podría constar de axiomas, estructuras de información, definiciones (expresiones genéricas derivadas), procedimientos, etc., todo ello mediante el mismo lenguaje formal.
George Spencer Brown , en su obra “Las Leyes de la Forma”, distingue entre consecuencia y teorema:
- Una consecuencia es una demostración realizada mediante mero cálculo lógico, de forma mecánica, que se obtiene a partir de los axiomas. Equivale a lo que hemos llamado “teoremas formales”.
- Un teorema es algo que se obtiene fuera del cálculo, que requiere intuición y creatividad, al establecer relaciones inesperadas entre conceptos, y que se reflejan en una expresión formal. Equivale a lo que hemos llamado “teoremas intuitivos”.
Otros teoremas pueden ser combinación de los dos tipos anteriores, es decir, requieren intuición y también un cierto grado de formalismo.
Un ejemplo de este tipo de teoremas es el “teorema de los cuatro colores”: Todo mapa geográfico puede ser coloreado mediante cuatro colores diferentes, de tal forma que dos regiones adyacentes no tengan el mismo color.
Este problema fue planteado por primera vez por Francis Guthrie en 1852, y resuelto en 1976 por Kenneth Appel y Wolfgang Haken con la ayuda de un ordenador. La demostración, sin embargo, no ha sido aceptada por muchos matemáticos, básicamente por dos razones:
- El lenguaje del programa utilizado no es un lenguaje matemático.
- No es fácil verificar que el programa sea correcto por la gran cantidad de detalles que contiene.
Con MENTAL se resuelve este problema, pues se utiliza el mismo lenguaje, a nivel matemático y nivel informático.
Otro ejemplo, es la demostración de la existencia de un objeto matemático de enorme magnitud y que requiere un proceso informático: el grupo de simetría más grande que existe, llamado “el Monstruo”, un objeto que tiene 196.883 dimensiones y un número enorme de simetrías:
808.017.424.794.512.875.886.459.904.961.710.757.005.754.368.000.000.000 ≃ 8*1053.
Otros aspectos a considerar son los siguientes:
- Axiomas.
Un axioma es un aserto sobre algo considerado autoevidente. Un mismo campo matemático puede ser axiomatizado de diferentes maneras, por lo que no hay consenso sobre lo que es evidente y lo que no. De hecho, existen diferentes axiomatizaciones de la teoría de conjuntos. Los axiomas de MENTAL son intuitivos y autoevidentes.
- Lógica.
La lógica forma parte de la matemática y está integrada en ella. Se fundamenta en la primitiva “Condición” y secundada por el resto de las primitivas.
- Complejidad.
La axiomática es compleja. Y no se puede fundamentar la matemática desde la complejidad. Es una contradicción. Lo complejo debe construirse a través de lo simple. Los axiomas semánticos de MENTAL son simples y con ellos se pueden construer expresiones complejas.
- Lenguaje.
Los axiomas no pueden combinarse a nivel formal porque no constituyen un lenguaje. Los axiomas pretenden formalizer un dominio, pero ellos mismos no están formalizados ni estructurados como un lenguaje. MENTAL es un lenguaje formal universal.
MENTAL, un lenguaje matemático intuicionista
MENTAL es también un lenguaje matemático intuicionista, pues se basa en un conjunto de primitivas semánticas universales, que son conceptos intuitivos e independientes entre sí, que pueden considerarse como grados de libertad o dimensiones semánticas. MENTAL se alinea, en general, con las tesis de la escuela intuicionista de la matemática, pero con algunos matices diferenciadores:
- Lenguaje intuicionista y formalista.
MENTAL es intuicionista porque se basa en conceptos intuitivos o intuiciones básicas: las primitivas semánticas universales (o arquetipos primarios). Es formalista porque en él se definen axiomas formales que relacionan las primitivas.
- Intuiciones primordiales y básicas.
Hay dos intuiciones primordiales: el espacio y el tiempo, que a nivel profundo se convierten en abstractos, y ambos van unidos. A nivel físico también van unidos, como demostró Einstein en su teoría de la relatividad especial.
Hay también intuiciones básicas, que son los arquetipos primarios. Los mismos arquetipos primarios están presentes en el mundo interno (mental) y el mundo externo (físico). El conocimiento se produce por la conexión entre ambos mundos, conexión realizada por la conciencia.
- Lenguaje formal.
Para la escuela intuicionista, no se necesita ningún lenguaje formal. Basta el lenguaje natural. MENTAL es un lenguaje formal universal, que es absolutamente necesario para poder expresar y relacionar las primitivas.
En MENTAL hay unas intuiciones básicas que no son lingüísticas porque son inexpresables. Solo son expresables sus manifestaciones. El lenguaje no es algo limitado (como decía Brouwer y Heyting), sino que es la expresión de los grados de libertad.
La semántica es inefable. La semántica del lenguaje interno no puede expresarse con el lenguaje externo. El lenguaje externo es una manifestación de la semántica. Lenguaje, pensamiento y realidad tienen el mismo fundamento: los arquetipos primarios.
- Lenguaje constructivo y descriptivo.
Para la escuela intuicionista solo existen las entidades matemáticas que pueden construirse de forma real y efectiva en un número finito de pasos. Pero no especifica cuales son los “ladrillos”, los elementos constructivos básicos con los cuales se construyen dicho objetos. Tampoco especifica las formas de combinar esos elementos básicos.
En MENTAL, los elementos constructivos básicos son los arquetipos primarios y son también los elementos combinatorios básicos (la semántica lexical es igual a la semántica estructural). El concepto “constructivo” se amplia, pues se admiten las entidades matemáticas siguientes:
- Las expresiones que pueden construirse, de forma operativa, en un número finito de pasos.
- Las que pueden describirse formalmente, mediante una expresión finita, que representan a un número finito o infinito de expresiones.
MENTAL es constructivista y descriptivista. Los objetos matemáticos infinitos no pueden construirse, pero sí pueden describirse mediante un patrón. Lo finito y constructivo pertenecen a la conciencia analítica. Lo infinito y descriptivo pertenecen a la conciencia sintética.
- Metamatemática.
La metamatemática es la matemática trascendente que subyace tras las expresiones lingüísticas de la matemática. La metamatemática son las primitivas semánticas universales (los grados de libertad) y sus posibilidades combinatorias. La matemática es una manifestación de MENTAL, el lenguaje de la conciencia.
- El continuo y los números reales.
Para la escuela intuicionista, el continuo matemático es una pura abstracción que existe únicamente en la mente del hombre. Además no puede identificarse como una entidad formada por puntos.
El continuo unidimensional tiene su origen en la percepción intuitiva del espacio (a priori, según Kant) y se identifica con la recta real (el conjunto de los números reales). El continuo es un concepto inmediatamente captable por la intuición. El continuo es indefinible. No requiere análisis, en el sentido de que se fundamente en otros conceptos más elementales. El continuo es holográfico: toda parte de él es también continuo.
Pero el continuo no se compone de números reales. Los números reales son manifestaciones del continuo. Los números reales son casi todos irracionales, y son inexpresables. Solo son expresables de forma constructiva una ínfima parte de ellos: los racionales. Los irracionales y el continuo representan la conciencia profunda y sintética, Los racionales y lo discreto representan la conciencia superficial y analítica. Los irracionales solo son expresables de forma descriptiva mediante una secuencia convergente de racionales cuando la secuencia está definida por un patrón. Los racionales son numerables. Los irracionales no lo son, por lo que no tiene sentido hablar de la “cardinalidad del continuo”.
El continuo, no obstante, se puede definir como compuestos de elementos imaginarios, que son los infinitésimos. Un infinitésimo (ε) se define mediante la expresión imaginaria ε2 = 0, que constituye el fundamento del análisis matemático
A nivel algebraico, una función algebraica es continua (teorema de continuidad de Brouwer), pero puede ser discontinua cuando se introducen condiciones (es decir, la lógica). Por ejemplo, la función f(x) = 1 si x = 0, y f(x) = 0 si x ≠ 0 es discontinua. La lógica introduce discontinuidad.
- Infinito.
Para la escuela intuicionista, las entidades infinitas (como el conjunto de los números naturales o los números reales o el propio infinito) no existen y no tienen sentido porque no pueden construirse.
Para MENTAL, el número natural infinito existe porque puede describirse formalmente mediante una expresión recursiva. Y el conjunto de los números naturales también se puede describir de manera formal. En MENTAL, el infinito puede ser potencial y actual, pero ambos son de tipo descriptivo, es decir definido mediante un patrón. Por ejemplo:
( 1… ) representa la secuencia de los números naturales
{⟨n⟩} representa el conjunto de los números naturales
{⟨(2*n + 1)⟩} representa el conjunto de los números naturales impares
⟨( n+m ≡ m+n )⟩ representa a infinitas expresiones equivalentes
( ∞ =: ∞+1 ) es la definición del número natural infinito
El infinito es una cualidad, no una cantidad. Por lo tanto, los transfinitos de Cantor no tienen fundamento. No tiene sentido decir que hay unos infinitos mayores que otros.
Tampoco tiene sentido, por tanto, la hipótesis del continuo. La hipótesis del continuo afirma que no existen conjuntos infinitos cuya cardinalidad esté comprendida entre el conjunto de los números naturales y el conjunto de los números reales. Pero el infinito es una cualidad, no una cantidad. La recta real es continua, no discreta, y no tiene cardinalidad.
- Lógica vs. Matemática.
Para la escuela intuicionista, la lógica es independiente de la matemática y subordinada a ella. Pero la lógica no es algo secundario de la matemática. La lógica es inseparable de la matemática. Sin lógica no se puede hacer matemática. La lógica es una dimensión (o grado de libertad) de la mente y la conciencia.
La lógica en MENTAL está representada por la primitiva “Condición” A→B, que tiene una semántica perfectamente definida basada en el concepto de existencia: si existe A, entonces B. Esta es la interpretación más simple. Es la única operación lógica y tiene dos papeles: como lógica de la inferencia y como lógica de la decisión. El resto de las operaciones lógicas son derivadas de las primitivas. Esto difiere de la interpretación en la lógica proposicional, donde la implicación es una operación derivada.
- Inferencias.
Las inferencias en MENTAL son automáticas cuando los axiomas se expresan mediante expresiones genéricas. No hay demostraciones “manuales”.
- Números naturales.
Para la escuela intuicionista, el concepto fundamental, el más básico de la matemática, el más intuitivo, es el de los números naturales (que representa el mundo discreto), que no necesita de ninguna definición pues tenemos una intuición directa de ellos.
En MENTAL, hay un conjunto de conceptos fundamentales o primarios, entre los que se encuentra la primitiva “Suma”, que constituye la esencia y fundamento de los números naturales, pero que es una operación genérica, aplicable a todo tipo de expresiones, no solo a números.
Para la escuela intuicionista, toda la matemática surge de los números naturales. Para MENTAL, el número es solo una dimensión, un arquetipo primario, pero hay 11 más.
- Leyes de la mente.
La escuela intuicionista tiene como objetivo último de la matemática el descubrir las leyes de la mente, de la misma forma que la física tiene por objetivo descubrir las leyes externas del mundo material o de los sentidos.
MENTAL en primer lugar consta de primitivas semánticas universales que son grados de libertad de la mente. En segundo lugar, las leyes de la mente corresponden a los axiomas-teoremas intuitivos que relacionan esos conceptos primarios y que son universales (independientes del dominio).
- Principio de tercero excluido.
Para la escuela intuicionista, el razonamiento no debe basarse en el principio de que todo enunciado es verdadero (V) o falso (F), pues desde el punto de vista constructivo no es ni V ni F. Las únicas demostraciones aceptables son las que permiten construir un objeto matemático con sus correspondientes propiedades.
En MENTAL se suscribe esto mismo. Pero con el aspecto constructivo ampliado a descriptivo, como se ha indicado anteriormente. Además el razonamiento se puede realizar sobre la base de los valores existenciales: las metaexpresiones θ (no existencia) y α (existencia), que están ligadas al espacio abstracto, sin referente empírico.
- Verdad y falsedad.
En la escuela intuicionista las expresiones no son ni verdaderas ni falsas. Las expresiones de MENTAL (las que respetan la sintaxis) tampoco son ni verdaderas ni falsas. La verdad o falsedad está asociada a que se cumpla o no una condición. Por ejemplo, las expresiones 3>4, a∈{b c}, x≠y no existen en el espacio abstracto, por lo que utilizada en una expresión como condición produce la expresión nula. Ahora bien, estas expresiones se pueden especificar como expresiones declarativas y en este caso serían expresiones existentes en el espacio abstracto.
También lo verdadadero (V) o lo falso (F) se pueden especificar como predicados (o atributos) de una expresión.
MENTAL y el Sueño de Hilbert de una Matemática Unificada
Hilbert soñaba con una matemática unificada, en una teoría metamatemática universal, una teoría capaz de fundamentar toda la matemática a partir de un sistema axiomático formal universal: un conjunto finito de axiomas y unas reglas lógicas que permitieran derivar todas las verdades matemáticas (los teoremas). Tal pretensión se vino abajo cuando Gödel publico su famoso teorema de incompletud.
Sin embargo, con MENTAL se alcanza el objetivo de una matemática unificada, de una fundamentación de toda la matemática, pero con diferencias importantes respecto a la idea original de Hilbert, en los siguientes aspectos:
- Axiomas.
Hilbert pretendía basarse en un conjunto finito de axiomas formales. Nunca hubo una propuesta concreta de tales axiomas.
MENTAL presenta dos tipos de axiomas: 1) axiomas semánticos primarios (las primitivas semánticas universales); 2) axiomas formales secundarios, que expresan relaciones entre las primitivas. Ambos tipos de axiomas no son específicos de ningún dominio. Son universales.
Por ejemplo, el axioma
expresa la ley conmutativa de la suma, una ley válida para todo tipo de expresiones.
El problema de la independencia de los axiomas −concepto difícil de lograr con los sistemas axiomáticos tradicionales, porque cada axioma establece una relación entre conceptos− se traslada al problema (mucho más simple) de la independencia de las primitivas semánticas universales, que cumplen este requerimiento al ser ortogonales (independientes entre sí).
- Lenguaje.
En el sistema de Hilbert no se llegó a definir un lenguaje formal. MENTAL sí lo es.
- Semántica.
Para Hilbert, los axiomas y las reglas lógicas están desprovistos de semántica. Se trata de una especie de juego en el que unos símbolos abstractos se manipulan mediante reglas ciegas. Los objetos matemáticos de un sistema axiomático formal son abstractos, desligado de referencias conceptuales: ”Uno debería ser capaz de decir siempre en lugar de puntos, líneas rectas y planos; mesas, sillas y jarras de cerveza”, decía Hilbert. La semántica se asigna en cada dominio particular, de tal manera que pueden existir diferentes modelos interpretativos del mismo conjunto de axiomas. En el sistema de Hilbert no hay semántica inicial, a priori. Hay semánticas particulares (modelos) a posteriori.
En MENTAL la semántica es a priori, universal y única, pero pueden existir diferentes interpretaciones o modelos a posteriori.
- Reglas de inferencia.
En el sistema de Hilbert habría axiomas y reglas de inferencia, como cosas distintas.
En MENTAL, las reglas de inferencia son axiomas formales secundarios especificados mediante expresiones genéricas que utilizan las primitivas “Sustitución”, “Equivalencia” o “Condición”.
- Teoremas.
En el sistema de Hilbert se aplicarían reglas de inferencia lógica a los axiomas para obtener teoremas. Los teoremas serían universales, es decir, válidos para todos los dominios.
En MENTAL, los teoremas son también universales. Pero además existe una gran riqueza de expresiones derivadas, más allá de los teoremas, riqueza derivada de la combinatoria de las primitivas.
- Paradigmas.
El sistema de Hilbert pretendía ser un sistema axiomático formal universal, es decir, un sistema lógico universal.
MENTAL es paradigma unificador en el que se pueden expresar todos los paradigmas particulares, incluido el paradigma axiomático lógico.
- Indecibilidad.
En el sistema de Hilbert, y en general en todos los sistemas axiomáticos formales que incluyan la aritmética hay, según el teorema de Gödel, sentencias indecidibles.
En MENTAL no hay expresiones indecidibles porque las expresiones son construibles respetando las reglas sintácticas de formación. Toda expresión válida sintácticamente (operativa o descriptiva), también lo es semánticamente, dada la correspondencia sintaxis-semántica en el lenguaje. A MENTAL no le afecta el teorema de Gödel.
- Creatividad.
En el sistema de Hilbert la matemática sería un sistema cerrado a nuevas ideas, sin posibilidad de creatividad. Solo se generarían nuevas expresiones formales (derivables de los axiomas), aunque a posteriori podrían tener alguna interpretación externa, con la ayuda humana, que condujera a nuevas ideas.
En MENTAL, la creatividad surge directamente, de forma intrínseca, de la combinatoria de los conceptos para producir nuevas ideas. Además, la creatividad es la máxima posible porque la combinatoria se produce en el nivel de la suprema abstracción.
- Paradojas.
En el sistema de Hilbert habría que introducir axiomas restrictivos para evitar paradojas lógicas. Las paradojas lógicas se producen cuando se hacen referencias circulares (auto-referencias) basadas en la dicotomía verdadero-falso.
En MENTAL no es necesario introducir estos axiomas restrictivos. Las referencias circulares se utilizan para describir expresiones fractales que representan a expresiones infinitas.
- Signos o símbolos.
Hilbert, a pesar de ser el gran defensor del sistema axiomático formal, también hablaba de la intuición, pero de la intuición del signo (o del símbolo). Por ejemplo, decía que los objetos de la teoría de números son los propios signos, y que había que simbolizar todos los conceptos matemáticos, de tal manera que las proposiciones matemáticas debían ser cadenas de símbolos. Para Hilbert, el reino matemático no está situado en un mundo ideal (platónico), sino que está en la realidad de los signos o símbolos.
Las primitivas semánticas de MENTAL están representadas por signos o símbolos, como deseaba Hilbert.
- Más allá de la metamatemática.
MENTAL es más que metamatemática. La metamatemática intenta fundamentar la matemática mediante un proceso ascendente: de la matemática a la metamatemática. Con MENTAL es proceso es el contrario, es descendente: parte de lo universal para llegar a lo particular. La matemática es solo una de las manifestaciones de MENTAL.
Tampoco es necesario hacer “filosofía de la matemática” sino que la matemática deriva de fundamentos filosóficos, pues las primitivas semánticas universales son también categorías filosóficas.
En definitiva, MENTAL materializa el sueño de Hilbert de fundamentar toda la matemática a partir de un conjunto finito de elementos primitivos, pero erró al pretender fundamentar la matemática desde lo superficial, desde lo meramente formal. El fundamento de todo, incluida la matemática tiene que venir de lo profundo: de la intuición. Poincaré tenía razón: la matemática hay que fundamentarla desde la intuición.
Formalismo e intuicionismo, por separado, son fracasos del unilateralismo. La solución estriba en la conjunción de ambos sistemas, en la union de los opuestos, que es el fundamento de la conciencia.
Adenda
Kronecker, el precusor
Leopold Kronecker fue el precursor del intuicionismo. Es famosa su frase “Dios creó los números naturales; todo lo demás es obra del hombre”. Stephen Hawking tituló uno de sus libros “Dios creó los enteros”, en homenaje y recuerdo a Kronecker.
Para Kronecker, toda la matemática debe edificarse a partir de los números naturales mediante un número finito de operaciones. Kronecker era finitista y fue el primero en poner en duda la validez de las demostraciones de existencia no constructivas. Se negó a dar validez a las teorías de los números irracionales (de Dedekind, Weierstrass y Cauchy). También rechazo de plano la teoría de Cantor de los cardinales transfinitos. Es por ello que el intuicionismo de Brouwer también se denomina “neointuicionismo” (así lo calificó el propio Brouwer) para diferenciarlo del intuicionismo original de Kronecker.
Una breve historia de la axiomática
- Siglo III a.C. El griego Euclides es el primer autor conocido que aplica la axiomática, por lo que se considera su inventor. Lo aplicó a la geometría. Su obra “Elementos” (compuesta por 13 libros) es una de las más difundidas de la historia. Su influencia ha sido enorme, pues introdujo el primer sistema hipotético-deductivo en ciencia, sirviendo desde entonces de modelo de sistema de razonamiento. Euclides utilizó:
- 9 nociones comunes, p. e. “el todo es mayor que la parte”.
- 23 nociones previas (punto, línea, superficie, etc.). Ejemplos: “un punto es aquello que no tiene partes”, “una línea es una longitud sin anchura”, etc.
- 5 postulados. El quinto postulado es el famoso postulado de las paralelas, que lo expresa de manera un tanto compleja, pero que equivale a afirmar que “solo existe una recta paralela a otra que pasa por un punto exterior a ésta”.
El quinto postulado ha sido el más conflictivo históricamente pues se sospechaba que podría deducirse de los otros cuatro. Matemáticos del siglo XIX (Lobachevsky y Riemann) demostraron que no era un teorema y que el postulado podía sustituirse por otro, manteniéndose la consistencia del sistema. Nacieron así las geometrías “no euclídeas”.
Euclides hablaba de “postulados”, en lugar de axiomas. El postulado se distingue del axioma por el hecho de que su evidencia no está reconocida, es decir, es una hipótesis. En cambio, el axioma se concibe como una verdad más o menos evidente, que no necesita fundamentación. Hoy día no se hace distinción entre ambos términos.
Antes de Euclides, la geometría griega se basaba únicamente en conceptos primitivos (como punto y recta) y cuyo exponente principal fue Tales de Mileto (siglo VI a.C.). A partir de Euclides, la geometría solo dependía de la lógica para producir teoremas.
De todas formas, los “Elementos” de Euclides tenían fallos: se utilizan axiomas no formulados explícitamente, hay definiciones sin sentido y razonamientos incorrectos. Un ejemplo es el axioma de Pasch, formulado en 1882. Tenemos 4 puntos (A, B, C y D) sobre una recta. B está entre A y C, y C entre B y D. Se deduce que B debe estar entre A y D. Esto no puede demostrarse a partir de los axiomas de Euclides, por lo que debe incluirse como axioma. Hay teoremas importantes en los Elementos que requieren el axioma de Pasch, sin el cual las demostraciones no son válidas.
- 1687. Newton, en su obra “Principios Matemáticos de la Filosofía Natural”, utilizó 8 definiciones (cantidad de materia, cantidad de movimiento, fuerza, etc.) y axiomas (las leyes del movimiento) para demostrar teoremas.
- 1840. Lobachevski crea una geometría consistente (la hiperbólica), alternativa a la euclidiana, cambiando el quinto postulado (admitiendo dos o más paralelas a una recta dada).
- 1854. Riemann crea otra geometría (la elíptica), cambiando el quinto postulado de Euclides de forma distinta a Lobachevski (con cero paralelas a una recta dada). Esta geometría fue utilizada más tarde por Einstein como modelo geométrico de su teoría de la relatividad general.
- 1871-1884. Cantor crea la teoría de conjuntos. Su papel en este campo fue de tipo conceptual, análogo al de Tales en geometría.
- 1883. Erns Mach aplica la axiomática a la mecánica.
- 1888. Dedekind publica “Qué son y para qué sirven los números”, en donde axiomatiza la aritmética de los números naturales.
- 1889. Peano axiomatiza el conjunto de los números naturales mediante 3 nociones primeras y 5 axiomas.
- 1899. Hilbert publica “Fundamentos de Geometría” en el que perfecciona el sistema de Euclides. La formulación axiomática de la geometría por parte de Hilbert se fundamenta en cómo puntos, líneas, etc. interactúan más que en lo que “son”. Por lo que se podía interpretar “punto” como “silla” o “jarra de cerveza” y los axiomas seguiría siendo válidos.
- 1902. Frege publica “Fundamentos de la Aritmética”, en la que axiomatiza la teoría de conjuntos de Cantor. Reduce los números naturales a conjuntos. Los axiomas de Peano se convierten en teoremas.
- 1903. Russell descubre la paradoja que lleva su nombre: “El conjunto cuyos elementos son todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos, ¿es o no un elemento de sí mismo?”.
- 1908. Russell presenta su teoría de los tipos como una solución a esta paradoja.
- 1908. Zermelo axiomatiza la teoría de conjuntos de Cantor, desempeñando en este campo un papel análogo al de Euclides en geometría.
- 1921. La lista de axiomas de Zermelo es actualizada por Fraenkel, añadiéndole el axioma de sustitución (que afirma que los valores de una función definida sobre un conjunto también forma un conjunto).
- 1923. Skolem añade otro axioma: el de fundamentación (un conjunto no puede pertenecerse a sí mismo).
- 1927. Von Neumann axiomatiza la mecánica cuántica.
- 1929. Luckasiewicz axiomatiza la lógica proposicional, con 3 axiomas y una sola regla de inferencia (modus ponens).
- 1930. Gödel demuestra que la lógica de predicados de primer orden es completa.
- 1931. Gödel anuncia sus dos teoremas de indecidibilidad.
- 1933. Kolmogorov axiomatiza la teoría de probabilidades.
- 1936. Church demuestra que la lógica proposicional no es decidible, es decir, no existe un procedimiento general que permita decidir si una proposición es demostrable o no.
- 1937. Von Neumann y Bernays intentan resolver las paradojas de la teoría de conjuntos recurriendo a la noción de “clase”, que generaliza la de conjunto.
- 1940. Gödel demuestra que la hipótesis del continuo es independiente de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF).
- 1940. Gödel y Gerhard Gentzen (alumno de Hilbert) demuestran que la teoría axiomática de conjuntos es consistente con o sin el axioma de elección. Es decir, el axioma de elección es independiente de los axiomas de la teoría de conjuntos estándar (ZF), por lo que el axioma de elección es el equivalente lógico al quinto postulado de Euclides, pues ambos son independientes del resto de los axiomas.
- 1940. Gentzen demuestra que es posible eludir las conclusiones de Gödel si se aplica el principio de inducción transfinita (una fórmula es derivable de una clase infinita de premisas).
- 1940. Bourbaki, pseudónimo utilizado por un grupo de matemáticos (principalmente franceses) publica “Elementos de Matemática”, de gran impacto en su tiempo, en el que utilizan de forma general el método axiomático.
- 1952. Kleene formaliza la lógica proposicional (inspirado por el sistema formal de Hilbert) con 8 axiomas y solo una regla (modus ponens).
- 1956. Church desarrolla una axiomática para la lógica de predicados de primer orden, con 5 axiomas y 2 reglas.
Bibliografía
- Benacerraf, Paul & Putnam, Hilary (eds.). Philosophy of Mathematics. Selected Readings. Cambridge University Press, 1984.
- Blanché, Robert. La axiomática. Breviarios Fondo de Cultura Económica, México, 2002.
- Chaitin, Gregory. The Limits of Reason. Scientific American, March 2006.
- Chaitin, Gregory. Meta Math!. The Quest for Omega. Pantheon Books, 2005.
- Chaitin, Gregory. The Limits of Mathematics: A Course on Information Theory and the Limits of Formal Reasoning. Springer Verlag, 2002.
- Corfield, David. Towards a Philosophy of Real Mathematics. Cambridge University Press, 2003.
- Borwein, Jonathan; Bailey, David; Girgensohn, Roland. Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. AK Peters, Ltd., 2004.
- Borwein, Jonathan; Bailey, David. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. AK Peters, Ltd., 2003.
- Dedekind, Richard. Qué son y para qué sirven los números, y otros escritos sobre los fundamentos de la matemática. Alianza Editorial, 1998.
- Frege, Gottlob. Fundamentos de la Aritmética. Editorial Laia, 1972. (Traducción al español de Die Grundlagen der Arithmetik. El texto original está publicado en Internet, en su idioma original).
- Garrido Garrido, Julián. Verdad matemática. Nivola, Ciencia abierta, 2003.
- Gray, Jeremy. J. El reto de Hilbert. Crítica, Barcelona, 2003.
- Heijenoort, Jean Van (ed.). From Frege To Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Hardware University Press, 2002.
- Heyting, A. Intuitionism. An Introduction. Colección “Studies in Logic”. Amsterdam, North-Holland, 1956.
- Kleene. Introduction to Metamathematics. Van Nostrand, 1952.
- Malcolm, P. From Brouwer to Hilbert. The Debate on the Foundations of Mathematics in the 1920s. Oxford University Press, New York, 1998.
- Nagel, Ernest; Newman, James R. El Teorema de Gödel. Editorial Tecnos, 1994.
- Odifreddi, P. The Mathematical Century. The 30 Greatest Problems of the last 100 years. Princeton University Press, Princeton, 2004.
- Reid, Constance. Hilbert. Springer, 2004.
- Snapper, Ernst. The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism. Mathematics Magazine, vol. 52, pp. 207-216, Sep. 1979.
- Tymoczko, Thomas (editor). New Directions in the Philosophy of Mathematics. Princeton University Press, 1998.